ТЪРСИ
Гледане на Кафе

Неевклидова геометрия

„ Математиците са нещо като французите: каквото и да им кажеш, те си го превеждат на своя си език и то веднага се превръща в нещо съвършено различно. ” — Гьоте

  В систематичното изграждане на всяка математическа теория, понятията и верните твърдения се излагат в известен ред, в който има ограничен брой първи понятия и дадени първи твърдения. Спецификата на подхода изисква да се приемат на „доверие” първите понятия, без определения - и се наричат първични понятия. Съответно първите твърдения – без доказателство, са наречени аксиоми.
  При системното изграждане на една математическа теория задължително се указват нейните основни понятия и релации. Всички нови твърдения, наречени теореми, се доказват чрез аксиомите. Основните понятия, релации, и аксиомите на дадена математическа теория образуват аксиоматиката на конкретната теория.
  Неевклидова геометрия е термин, обединяващ хиперболичната и елиптичната геометрия. Основната разлика между евклидовата и неевклидовата геометрия е естеството на успоредните прави. Отрицанието на един от Евклидовите постулатите (1825 г.) е значително събитие в историята на мисълта, защото е първата стъпка към теорията на относителността.
  Друг начин да се опишат разликите между тези геометрии е следният: Нека са дадени две прави в една двумерна повърхност, които са перпендикулярни на трета права. В евклидовата и хиперболичната геометрия тези две прави са успоредни. В евклидовата геометрия обаче, тези две прави остават на еднакво разстояние една от друга, докато в хиперболичната геометрия те се отдалечават една от друга, увеличавайки разстоянието помежду си с отдалечаването от точката на пресичане с общия перпендикуляр. В елиптичната геометрия линиите се приближават една към друга и на края се пресичат — следователно в елиптичната геометрия не съществуват успоредни линии.

Гледане на Кафе
Евклидова, елиптична и хиперболична повърхнина с прави линии.

  Вторият постулат на Евклид твърди, че всяка отсечка от права, може да се продължи неограничено. Евклид, както изглежда, смятал, че този постулат съдържа в себе си твърдението, че правата е с безкрайна дължина. В елиптичната геометрия всяка една права е ограничена и подобно на кръга е затворена.
  Петият постулат на Евклид гласи: Ако една права линия пада върху две прави линии така, че вътрешните ъгли от едната страна са заедно по-малки от два прави ъгъла, то правите линии, ако се продължат безкрайно, се срещат от страната, от която ъглите са по-малки от два прави ъгъла.
Други математици дават по-опростени еквивалентни формулировки на този "постулат на успоредността". Например, ако са дадени права L и точка A, нележаща на нея, то през A може да се прекара само една права, успоредна на L (аксиома на успоредните прави).
  Но в хиперболичната геометрия може да съществува права СВ, перпендикулярна в т.С на зададена права r и пресичаща друга права s под остър ъгъл в т.В, и въпреки това, безкрайните линии r и s никога няма да се пресекат.
  От тези ревизирани постулати следвало, че сумата от ъглите на триъгълника, равна на 180 ° в Евклидовата геометрия, е повече от 180 ° в елиптична геометрия, и по-малко от 180 ° в хиперболичната геометрия.
  За първият неевклидов геометър, вероятно, може да се счита самия Евклид. Неговото нежелание да използва "несамоочевидния" пети постулат личи от факта, че първите си двадесет и осем предположения Евклид доказва, без да прибягва до този постулат. От първи век пр. н. е. до 1820 г. математиците се опитвали да изведат петия постулат от останалите, но успели само да го заменят с различни еквивалентни предположения, като например: "две паралелни линии навсякъде са равно отдалечени една от друга" или "кои да са три точки, не разположени на една права, принадлежат към кръга."
Най – близо до целта се приближава италианският йезуит, логик и математик Джовани Сакери /1667 – 1733/, който започнал своите изследвания с така наречения „четириъгълник на Сакери”. Четириъгълникът BCED, при който BC = DE, а ъглите при върховете С и Е са прави. Забелязвайки, че ъглите при върховете B и D непременно са равни, Сакери разгледал последователно три хипотези: че горните ъгли на четириъгълник са тъпи, прави и остри. Той доказал, че всяка от тези хипотези, ако се приеме за който и да е такъв четириъгълник, остава в сила за всички такива четириъгълници. Сакери имал намерение да обоснове хипотезата, че горните ъгли са прави, доказвайки, че всяка друга хипотеза води до противоречие. Скоро той отхвърлил хипотезата за тъп ъгъл (и по този начин се лишил от възможността да открие елиптична геометрия), защото, както всички геометри до 1854 г., разглеждал втория постулат като доказателство, че линията има безкрайна дължина, а не искал да се откаже от него. По същия начин Сакери отхвърля и хипотезата за остър ъгъл, но преди да направи това погрешно решение, без той самият да подозира, открил много геометрични теореми, наречени впоследствие хиперболични. 

Карл Фридрих Гаус /1777 – 1855/ е прието да се счита за един от най – великите математици на всички времена. Той пръв подхожда към проблема от съвременна гледна точка, като казва, че геометрията, отричайки петия постулат, трябва да се развива заради себе си, без да се очаква, че при това ще възникне каквото и да е противоречие. В писма до приятели, около 1816 г. Гаус споделя, че е разработил „антиевклидова” геометрия, отговаряща на хипотезата на Сакери за острия ъгъл. Поради страх от неразбиране и насмешки, Гаус не публикува идеите си, и така разделя честта за откриването на хиперболичната геометрия с унгареца Янош Бояй, и руския математик Николай  Лобачевски.
  През 1825 г. Янош Бояй осъзнава недоказуемостта на Петия постулат на Евклид въз основа на останалите четири, което го навежда на мисълта за възможността да се построи нова геометрия, независеща от този постулат. Бояй обаче не знае, че почти същите резултати в областта на неевклидовата геометрия, постига и един друг голям математик - Николай Лобачевски, с когото са работили успоредно във времето. Лобачевски обаче още през 1826 г. докладва резултатите си пред математическата общност в университета в Казан, а през 1829 г. ги публикува. Бояй научава това едва през 1848 г., когато прочита излязлата на немски език през 1840 г. книга на Лобачевски „Геометрични изследвания върху теорията на успоредните прави“. Цитирането на първата публикация от 1829 г. напълно му отнема възможността за приоритет. Той започва да учи руски език, за да се запознае в оригинал с трудовете на Лобачевски, изчита ги прецизно посочвайки някои дребни неточности, но като цяло справедливо оценява работата му и нарича изводите му гениални. До края на живота си Бояй продължава да се занимава с математика, но не постига съществени резултати, като една от причините е и че в изолацията си не успява да следи новостите в бурно развиващите се области на алгебрата и анализа. Ръкописите му, в обем от над 20 000 ръкописни страници, са изучени и оценени едва след смъртта му през 1860 г.
Лобачевски така и не разбира за откритията на Бояй. Говорейки за Петия постулат, Лобачевски изтъква, че той няма нужда от строго доказателство; нещо повече, приема, че постулатът не е верен и на тази основа изгражда нова аксиоматика на геометрията. Лобачевски приема аксиомата за успоредните прави на Евклид, като ограничение. Според него тя е твърде силно изискване, което ограничава възможностите да се описват свойствата на пространството. Той заменя тази аксиома с по-общото твърдение, че в равнината през точка, нележаща на дадена права, минава повече от една права, която не пресича дадената права. Въз основа на това твърдение той изгражда нова геометрия, коренно различна от евклидовата, която днес заслужено носи неговото име. В Русия  обаче признание приживе  Лобачевски  така и не получава, а през 1846 година дори е отстранен от университета. В края на живота си Лобачевски губи зрението си и се налага да диктува последния си труд "Пангеометрия", в който излага своите идеи за връзките между анализа, алгебрата, геометрията и физиката. Лобачевски умира на 24 февруари 1856 година.

През 1854 г. Бернхард Риман отбелязва, че от неограничеността на пространството все още не следва неговата безграничност. Смисълът на това изявление ще стане ясен, ако си представим, че в една безгранична, но крайна вселена, астрономите принципно могат да видят собствения си тил, през телескоп, който е с достатъчно висока разделителна способност,  (с изключение на малки детайли, свързани с факта, че светлината, отразена от врата им, ще достигне окото на астронома след хиляди милиони години). В своето доказателство, че външния ъгъл при всеки връх на триъгълника е по-голям от вътрешния ъгъл на всеки един от останалите  два върха, Евклид косвено е използвал безкрайната дължина на правата. От тази теорема непосредствено следва теоремата, че сумата на кои да са два ъгъла от един триъгълник е по-малка от сумата на два прави ъгъла. Ако се откажем от безкрайната дължина на линията, то хипотезата за тъпия ъгъл на Сакери става вярна, а от това следва, че сумата от ъглите на триъгълника е по-голяма от сбора на два прави ъгъла. Тази ситуация отдавна била позната в сферичната тригонометрия, където страните на триъгълника се разглеждат като дъги от големи окръжности. Риман има епохална заслуга в разширяването на представата за крайно, но неограничено пространство с 2-3 или повече измервания.
  Римановата геометрия е една от неевклидовите геометрии. Представлява многомерно обобщение на вътрешната геометрия на двумерна повърхнина в тримерното евклидово пространство. В основата на римановата геометрия стоят три идеи:
1.Идеята, че изобщо е възможна геометрия, различна от евклидовата — тази идея е лансирана от Лобачевски и Бояй (1825-1826 г.)
2.Представата за вътрешна геометрия на повърхнина, предложена от Гаус, който разработва и аналитичния и апарат.
3.Идеята за многомерно пространство, предложена през първата половина на 19 век от Грасман и разработена от други геометри.
В своята лекция "За хипотезите, лежащи в основата на геометрията" (от 1854 г., публикувана през 1867 г.) Риман съчетава тези три идеи, като дава нова дефиниция на понятието за математическо пространство, като непрекъснато множество от произволен род еднотипни обекти, служещи за "точки" (т.е. нуламерни обекти) в това пространство, внасяйки и идеята за измерване на дължини "с малки стъпки".
  Иначе казано, римановата геометрия е раздел на диференциалната геометрия, в който главен обект на изследване са римановите пространства, или пространства с риманова метрика.
  Нагледен начин да се построи моделът на римановото пространство е по пътя на отъждествяването. За целта, възприемаме всяка двойка от диаметрално противоположни точки върху сфера от евклидовото пространство, като една точка в римановото. Специално за частния случай на n-мерни риманови многообразия при n = 2, геометрията на Риман е известна и с наименованието елиптична геометрия. Тя се различава от евклидовата по Петия постулат на Евклид, който в случая е заменен от постулата, че през точка, нележаща на дадена права, не може да се построи права, успоредна на дадената. Невалиден е и Вторият постулат на Евклид, който гласи, че всяка права може да бъде безкрайно разтегляна в двете посоки.
  В римановата геометрия, римановата повърхнина (M, g) е реална диференцируема повърхнина М, в която допирателната повърхнина към всяка точка от повърхнината се променя плавно, при преминаване от точка в точка. Това позволява да се дефинират и изчисляват различни понятия като: дължина на кривата, ъгъл, площ, обем, кривина, градиент на функцията, завихряне (ротация) на векторно поле.
  Сноп от допирателни, към точка от гладка повърхнина М (или векторен сноп), е съвкупността от всички допирателни вектори, към повърхнината в тази точка.
  Всяко непрекъснато подмножество на риманова повърхнина (M, g) притежава своя собственна риманова измерителна единица g.

Феликс Клайн пръв видял, как да избави сферичната геометрия от един неин недостатък.
  Тъй като за всяка точка съществува една единствена точка- антипод  (диаметрално противоположна точка), а всяка фигура има дубликат от точки-антиподи, без да жертваме нищо, само да печелим, можем  абстрактно да отъждествим двете точки на такава двойка, обединявайки ги в една. По този начин може да се промени смисълът на думата "точка", с договорката, да продължи да се нарича „една точка" двойката диаметрално противоположни точки. Всяка елиптична линия е затворена в кръг, но тъй като всяка една от нейните точки е представена от две точки-антиподи на единичната сфера, пълната дължина на елиптичната права е равна на половината от дължината на голямата окръжност, т.е. общата и дължина е равна на „пи”. Такова представяне с помощта на диаметри и диаметрални равнини на сферите ( при които диаметърът, свързващ Северния и Южния полюс на сферата, е "полюс" на екватора), показва, че всички свойства на проективната равнина се запазват и за елиптичната плоскост.
Бутилка на Клайн в математиката е двумерна повърхнина, която има само една страна, т.е. при нея не може да се разграничат „вътрешна“ от „външна“ страна. Тя не може да бъде конструирана в по-ниско от четиримерното пространство, макар че идея за нея може да бъде придобита от двумерните и тримерните и изображения.
За първи път обектът е описан от немския математик Феликс Клайн през 1882 г. Първоначално Клайн го нарича "повърхнина" ("Fläche"), което грешно е превеждано на английски като "бутилка" ("Flasche"). Тази грешка обаче лесно се обяснява и с известното изображение на повърхнината, което прилича на бутилка, чието дъно с дупка е закривено и минавайки през стената на бутилката, отново се слива с нейното гърло.
Бутилката на Клайн е пример за повърхнина, която е едновременно едностранна и затворена. По подобие на листа на Мьобиус, бутилката е двумерно многообразие - диференцируемо и неориентируемо (т.е. такова, за което понятията ляво и дясно не са дефинирани). За разлика от листа на Мьобиус, бутилката е затворено многообразие - компактно и без граница. И докато листът на Мьобиус може да се реализира на практика в тримерното пространство, бутилката на Клайн не може. Тя обаче може да бъде успешно конструирана в четиримерно пространство, при което няма да се получи самопресичането и неизбежния отвор в повърхнината, които налагат ограниченията на двумерните и тримерните и изображения.

  Аугуст Фердинанд Мьобиус (на немски: August Ferdinand Möbius) е немски математик и астроном, известен с конструирания от него пример за едностранна повърхнина, наречена „Лист на Мьобиус“. 

Математическите приноси на Мьобиус се изразяват в разширяването на традиционното понятие за координатите, с въвеждането на координатната система и аналитическите методи за изследване на проективната геометрия. Установява съществуването на едностранни повърхнини и многостени с нулев обем. Така Мьобиус се оказва един от основоположниците на теорията на геометричните преобразувания, а оттам и на топологията, на многомерната геометрия и на теорията на векторите.
Освен в тези области, Аугуст Мьобиус работи и в областта на теория на числата, в която е известна дефинираната от него функция на Мьобиус.
 Лист на Мьобиус (или лента на Мьобиус) е тримерна конструкция, образувана от дълга правоъгълна лента, която се усуква по дължина на 180 градуса и след това двата и края се слепват. Тази форма има само един ръб и една повърхност, на която не съществуват посоките ляво и дясно. Листът на Мьобиус може да бъде боядисан с четка, без тя да се вдига от повърхността му. Ако го разрежем по осевата му линия, вместо две ленти на Мьобиус ще получим една двустранна лента, но двойно усукана. Ако разрежем лист на Мьобиус на разстояние 1/3 от ръба, ще получим две ленти - една по-тясна мьобиусова лента и друга - дълга двустранна лента с две усуквания.
  Лентата на Мьобиус вдъхновява скулптори и графици. Мориц Ешер особено харесвал тази тема и много от литографиите му са посветени на този математически обект. Една от най-известните, Möbius Strip II, изобразява мравки, пълзящи по лист на Мьобиус.
  Жул Анри Поанкаре (на френски: Jules Henri Poincaré) е френски математик, физик, философ и теоретик на науката, един от най-значимите математици на 20 век.
След тридесет години напрегната научна работа Анри Поанкаре оставя огромно математическо наследство, обхващащо най-различни дялове на математиката: топология, теория на вероятностите, неевклидова геометрия, теория на диференциалните уравнения, теория на автоморфните функции, комплексен анализ и много други, като изследва и връзките между отделните дялове.

Създател е на теорията на функциите на много комплексни променливи (многомерен комплексен анализ) и на алгебричната топология. Има съществен принос в алгебричната геометрия (дава доказателства на твърдения на Севари, Енрикес и Кастелнуово), както и в теорията на числата.
Занимава се също с решаването на различни задачи от астрономията и небесната механика. Доказва неинтегрируемостта на уравненията за движение на три тела. Въвежда методите на малкия параметър, на неподвижните точки, разработва теорията на интегралните инварианти. Впоследствие развива теорията на хаоса.
В областта на физиката изучава и допринася за развитието на: теорията на еластичността, термодинамиката, оптиката, електричеството, космологията и др. Има съществен принос в развитието на теорията на относителността. Именно в неговите трудове за първи път е формулирана, в достатъчно пълна и ясна математическа форма, специалната теория на относителността. През 1904 - 1905 г. изказва принципа на относителността, въвежда термините „преобразувания на Лоренц“ и „групи на Лоренц“, и показва, че е невъзможно да се констатира абсолютно движение, като се изхожда от представите за етера и уравненията на Максуел - Лоренц. Така Поанкаре прави решаващата крачка към създаването на теорията на относителността. Той дава изходните принципи на новата теория, дошла да смени класическата механика и наложила преразглеждане на физичните представи за пространството и времето.
  Роджър Пенроуз е британски и американски математик и теоретичен физик. Роден е на 8 август 1931 в Колчестър, Есекс, Англия.

Работил е както в английски, така и в американски университети. От 1973 г. е професор в Оксфорд.
В сферата на математическата физика работи върху различни приложения на Общата теория на относителността. Теоремата на Пенроуз-Хокинг за Сингулярностите, разкрива основни характеристики на черните дупки. Най-известният му принос в математиката - Мозайката на Пенроуз, слага началото на цяло ново поле за изследване, наречено квазикристали.
Научнопопулярната му книга „Новият разум на царя“, издадена и на български, разглежда увлекателно и задълбочено въпроса дали е възможно създаването на изкуствен интелект.
Триъгълникът на Пенроуз, още известен като трибар, е невъзможен обект. За първи път е изобразен от шведския художник Оскар Ройтерсверд през 1934 г. Триъгълникът на Пенроуз често е изобразяван в работите на холандския график М. К. Ешер.
Трибарът изглежда сякаш е тримерен предмет, направен от три греди с квадратно напречно сечение, които по двойки се срещат под прав ъгъл и в трите върха на триъгълника, който образуват. Такава комбинация от свойства обаче, не може да се осъществи у никой обект от тримерното пространство. Въпреки това, съществуват тримерни обекти, които погледнати под определен ъгъл дават илюзията, че притежават описаните по-горе свойства накуп.
Литографията на М. К. Ешер “Водопад” (”Waterfall”, 1961) изобразява ручей, който тече на зиг-заг по дългите страни на два издължени триъгълника на Пенроуз и водата сякаш се излива в точка два етажа по-високо от тази, от която е тръгнал пътят и. Така полученият водопад, оформящ късите страни на двата трибара, задвижва водно колело. Ешер услужливо напомня, че за да продължи колелото да се върти, отвреме навреме трябва да се добавя вода, за да компенсира изпаренията.
Концепцията на триъгълника на Пенроуз може се разширява и до други многоъгълници, например квадрата на Пенроуз, но визуалният ефект не е толкова впечатляващ. Съществува терминологично недоразумение, дали “триъгълник на Пенроуз” се отнася до двумерното изображение на невъзможен тримерен обект, или до самия невъзможен обект. (От философска гледна точка, неясно е и до какво друго може да се отнася определението “невъзможен обект”, освен до съвкупността от условия, които не могат да бъдат едновременно изпълнени.)
Докторантът от Харвард Питър Лу при посещение в Узбекистан, вижда прочутия непериодичен геометричен модел на Пенроуз по стените на сграда от 16-ти век.
  Любопитно е, че главозамайващите мотиви по керамичните облицовъчни плочки, познати от ислямските средновековни мозайки, били създадени чрез използването на геометричен метод, „открит" от съвременните математици едва преди тридесетина години. Този стил на декориране е известен като "гирих" (girih). Той е изключително труден за изпълнение, тъй като е съставен основно от фигури на многоъгълници и звезди, очертани отгоре с линия, която придава на цялата плетеница характерната  зигзагообразност. За да се напаснат добре многооъгълниците, трябва да се спазва почти съвършена симетрия, в противен случай шарките ще изглеждат криви. Чрез средновековната система на експертна комуникация, стените на арабския свят били покрити с т.нар. "квазикристални" плочки. За разлика от стандартните шаблони, с периодично повтарящ се набор от геометрични елементи, квазикристалните модели за декориране никога не се повтарят, но притежават ротационна симетрия.
  Западната наука достига до описанието на квазикристалния модел едва в началото на 70-те, когато откриването му носи световна слава на британския математик от Оксфорд Роджър Пенроуз и става изветно сред англоговорящите физици като "Penrose tiling", а сред българските им
колеги - като "мозайка на Пенроуз". Пенроуз за пръв път доказва, че два типа ("дебел" и "тънък") ромбовидни плочки могат да покрият равнина, създавайки непериодичен модел с петорна ротационна симетрия. Десетина години по-късно други изследователи откриват, че атомите в някои материали имат склонността да се групират в подобни непериодични структури, наречени "квазикристали".
До убеждението, че аксиомата за успоредните прави, не може да се докаже като следствие от останалите аксиоми на Евклид, нито пък може да се опровергае чрез тях, а е независима от тях, първи стига Карл Фридрих Гаус, а независимо от него и помежду си - Янош Бояй и Николай Иванович Лобачевски. И тримата развиват неевклидова (хиперболична) геометрия, наричана още геометрия на Лобачевски, на когото принадлежи първата й публикация.
Гаус не публикува откритието си, а Бояй и Лобачевски срещат пълното неразбиране на съвременните си математици. Правото на съществуване на неевклидовите геометрии е завоювано от Феликс Клайн, който построява модел на неевклидова геометрия в рамките на евклидовата геометрия.
  Най-простата дефиниция за евклидово пространство с произволен брой размерности (включително и безкрайномерното) е такова пространство, в което между подмножествата на правите и равнините съществуват обичайните за тримерното евклидово пространство релации на принадлежност, наредба, конгруентност, и са изпълнени всички традиционни аксиоми, с изключение на следната: Две равнини, които имат обща точка, имат обща права. Ако тази аксиома е изпълнена, то пространството е тримерно, ако не е изпълнена, тоест съществуват две равнини, които имат само една обща точка, то пространството е минимум четиримерно.
  Самото понятие „равнина“ в многомерната геометрия се обобщава по следния модел: равнина е такова множество от точки, което заедно с всеки две свои точки, съдържа и правата минаваща през тях. В този смисъл цялото пространство също се явява и „равнина“. За да се прецизира дефиницията, се добавя и следното условие: Ако дадена равнина е дефинирана върху множество от m + 1 точки, но не и върху някое негово подмножество от m или по-малко точки, то равнината се нарича m-мерна равнина (или за краткост, m-равнина; среща се и терминът хиперравнина). Така точката се разглежда като 0-равнина, правата като 1-равнина, традиционно равнината по дефиниция си е двумерна, а тримерното пространство се разглежда като 3-равнина. По аналогия, дадено пространство се нарича n-мерно, ако то се явява n-равнина. По този начин за определянето на n-мерно евклидово пространство, достатъчно е да се добави аксиомата: пространството съдържа n-равнина.

Образуване на симплекс от нулево до четвърто измерение: точка - отсечка - триъгълник - триъгълна пирамида - пентахрон Образуване на хиперкуб от нулево до четвърто измерение: точка - отсечка - квадрат - куб - тесеракт

  Геометричният подход позволява построяването на естествени обобщения на планиметрията и стереометрията (т.е. двумерната и тримерната геометрия) в случаите с произволен брой размерности. Например: права, която е едновременно перпендикулярна на m на брой неуспоредни прави в m-равнината, е перпендикулярна и на всяка друга права от m-равнината. Тази и много други теореми се доказват с индукция по n. Аналогично се дефинира n-мерният политоп (обобщение на многостена) като крайна затворена област от En, ограничена от краен брой (n − 1)-политопи. Най-простите примери са за n-мерна призма и n-мерна пирамида.
От времето на Риман са развити още шест геометрии, общо осем до сега, всички те се използват. Коя е истинската? А какво е Истината? Приближаваме се към нея асимптотически. Правата линия е асимтотата (Истината), а другата - са нашите разбирания. В безкрайността ще се слеят.

  Мичио Каку в книгата си „Поглед към по-високите измерения” казва:
„Съществуват ли по-високите измерения? Има ли невиждани светове отвъд нашия поглед, отвъд нормалните закони на физиката? Въпреки, че по-високите измерения са били от историческа гледна точка царството на шарлатаните, мистиците и писателите на научна фантастика, много сериозни теоретични физици сега вярват, че по-високите измерения не само съществуват, но могат да обяснят някои от най дълбоките тайни на природата. Въпреки, предупреждаваме, че все още няма експериментално доказателство за по-високите измерения, по принцип те могат да решат крайния проблем във физиката: финалната унификация на цялото физично знание на фундаментално ниво.”
„В Средните Векове, религиозното изкуство е било отличително поради преднамерената си липса на перспектива. Крепосниците, селяните и кралете са били изобразявани сякаш са плоски, също както децата рисуват хората. Тъй като Бог е бил всемогъщ и следователно е можел да вижда всички части от света еднакво, изкуството трябвало да рефлектира Неговата гледна точка, така че света е бил рисуван двуизмерен. Ренесансовото изкуство е било бунт срещу тази плоска Бого-центрирана перспектива. Широките и разстлани пейзажи, триизмерните хора били рисувани от гледна точка на човешкото око, като линиите на перспективата изчезвали в хоризонта. Ренесансовото изкуство отразявало начина, по който човешкото око вижда света, от единичната гледна точка на наблюдателя. С други думи, Ренесансовото изкуство открило третото измерение. С началото на ерата на машините и капитализма, артистичния свят се разбунтувал срещу студения материализъм, който изглежда, че доминирал в индустриалното общество. За Кубистите, позитивизма е бил усмирителна риза, която ни е ограничила в нещо, което може да се измери в лаборатория, подтискаща плодовете на нашето въображение. Те попитали: Защо изкуството трябва да бъде клинично “реалистично”? Кубистите “възстанали срещу перспективата” и завзели четвъртото измерение, защото то докосвало третото измерение от всички възможни перспективи. Просто казано, Кубисткото изкуство разкрило четвъртото измерение. Картините на Пикасо са блестящ пример, показващи ясно отричане на триизмерната перспектива, като лицата на жените се виждат от различни перспективи едновременно. Вместо една единствена гледна точка, картините на Пикасо показват мултиплицирани перспективи, сякаш са били нарисувани от същество от четвъртото измерение, можещо да види всички перспективи едновременно.”

„Единственото сигурно е, че няма нищо сигурно” - Плиний Стари
 

Гледане на Кафе
Дата: 26 - ти май 2011г.

Виж източниците за тази статия
Търсене: Неевклидова геометрия
Неевклидова геометрия
Много сериозни теоретични физици сега вярват, че по-високите измерения не само съществуват, но могат да обяснят някои от най дълбоките тайни на природата.
Могилата на змията в Охайо – тайната ще бъде разгадана
Вече 165 години учените се опитват да разгадаят тайната на могилата в Охайо, с изображение на змия поглъщаща яйце – едно от най – известните мистични чудеса в човешката култура.
Барух Де Спиноза
Въпреки скромния си и почти неизвестен живот, Спиноза е признат за една от големите личности в историята на философията. Отхвърляйки божествеността на Библията, той се прекланя пред разума
 
новости, забавни и любопитни факти за игри, приложения, джаджи, интернет, бизнес, култура, наука, техника и други